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Fondements de la dérivation numérique
MATH007Lesson 4
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La dérivation numérique marque le passage crucial de la lisse infinie du calcul différentiel vers le monde discret et fini des calculs numériques. Nous remplaçons la limite infinitésimale par une taille d'étape mesurable $h$. Bien que la dérivée théorique de $f$ en $x_0$ soit définie par $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$, les systèmes informatiques ne peuvent pas calculer directement une limite. À la place, nous utilisons des formules de différences finies, engendrant une pénalité mesurable appelée erreur de troncature.

1. La géométrie de la dérivée

Pour approximer $f'(x_0)$, nous examinons les points voisins. En fonction de notre choix de direction, nous dérivons deux formules principales :

  • Formule de différence forward : Utilisée si $h > 0$. Elle examine le point suivant $x_0 + h$.
  • Formule de différence backward : Utilisée si $h < 0$. Elle examine le point précédent $x_0 + h$ (où $h$ est négatif).

En ingénierie réelle, comme le calcul de la longueur d'arc d'une trajectoire courbe, nous comptons souvent sur ces approximations : $$L = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (\cos x)^2} dx$$ Si $f(x)$ est connue uniquement aux points discrets des capteurs, la dérivation numérique est la seule voie possible.

2. Dérivation mathématique par interpolation

Pour approximer $f'(x_0)$, supposons tout d'abord que $x_0 \in (a, b)$, où $f \in C^2[a, b]$, et que $x_1 = x_0 + h$. Nous construisons le premier polynôme de Lagrange $P_{0,1}(x)$ déterminé par $x_0$ et $x_1$ :

Étape 1 : Construction de l'interpolant
$f(x) = P_{0,1}(x) + \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{2!} f''(\xi(x))$
Étape 2 : Différentiation
En dérivant les deux côtés et en évaluant en $x = x_0$, on obtient la relation fondamentale : $$f'(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac{h}{2} f''(\xi)$$

3. Terme d'erreur et convergence

Le terme $-\frac{h}{2} f''(\xi)$ est notre erreur de troncature. Cette formule démontre que la précision est $O(h)$, ce qui signifie que si vous divisez par deux la taille d'étape $h$, vous divisez approximativement par deux l'erreur. Toutefois, nous devons être prudents : bien que $h$ plus petit réduise l'erreur de troncature, il augmente finalement erreur d'arrondi en raison de la soustraction de nombres presque identiques dans le numérateur.

🎯 Principe fondamental : La différence finie
La dérivation numérique remplace la limite par une corde finie. La qualité de notre approximation dépend strictement de la taille d'étape $h$ et de la régularité (dérivée seconde) de la fonction.
$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ avec borne d'erreur $\frac{h}{2} \max|f''(\xi)|$